剪紙

題目

棄璞將一張紙片剪成8小張：

再取其中幾張將每張都剪成8小張，例如取3張各剪成8張，總共有29張：

再取其中幾張，大小不拘，例如取5張各剪成8張，總共有64張：

問：他能否剪出100張的紙片？能否剪出1000000張紙片？

若取出1張，剪成8張，則增加－1＋8＝7張
若取出2張，剪成16張，則增加－2＋16＝14張
若取出3張，剪成24張，則增加－3＋24＝21張
若取出4張，剪成32張，則增加－4＋32＝28張
若取出5張，剪成40張，則增加－5＋40＝35張
……
若取出k張，剪成8k張，則增加－k＋8k＝7k張

也就是每次取出若干張紙片並各剪成8張，紙片的總數會增加7的倍數張，每次的紙片總數目為7的倍數加1張。
因100＝1＋99，而99÷7＝14…1，無法剪出100張的紙片。
因1000000＝1＋999999，而999999÷7＝142857，故可剪出1000000張的紙片。

等腰直角三角形兩腰三等分

題目

等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，分別在兩股AB與AC上取三等分點
D 在 AB 上，AD：DB＝2：1
E 在 AC 上，AE：EC＝1：2
連接 DE 和 BE，求證：∠ADE＝∠EBC

作E在BC上的垂足F，連接EF。

設AE＝x，則AD＝2x，在△ADE中，∠A＝90°，
DE²＝AD²＋AE²＝4x²＋x²＝5x²
→ DE＝√5 x
→ AE：AD：DE＝1：2：√5　　…(*1)

在△FCE中，∠C＝45°，∠EFC＝90° → △FCE是等腰直角三角形
→ EF：EC＝1：√2
EF＝2x÷√2＝√2 x

在△ABE中，BE²＝AB²＋AE²＝9x²＋x²＝10x²
→ BE＝√10 x

在△FBE中，BF²＝BE²－EF²＝10x²－2x²＝8x²
→ BF＝2√2 x

→ FE：FB：BE＝√2 x：2√2 x：√10 x＝1：2：√5　　…(*2)

在△ADE和△FBE中，由(*1)和(*2)得
△ADE～△FBE (SSS)
→ ∠ADE＝∠EBC

兄弟分紅包

題目

王老先生有若干個孩子，在一次過年時準備了一個大紅包要分給孩子們，他的分法如下：
(1) 從大紅包中拿出100元給老大，再把紅包中剩下的1/10給老大
(2) 從大紅包中拿出200元給老二，再把紅包中剩下的1/10給老二
(3) 從大紅包中拿出300元給老三，再把紅包中剩下的1/10給老三
(4) …… 如此依序發到最後一個小孩
若每個小孩拿到的壓歲錢都一樣多，且最後紅包沒有剩，問王老先生有多少個小孩，每人拿到多少的壓歲錢？

假設全部的錢為 x 元，每人拿到 y 元。
老大和老二都拿到兩筆錢，分別是：

老大的第一筆錢：100元
老大的第二筆錢：紅包扣去100元後，剩下的1/10，也就是(x－100)÷10 元
老大共拿到：100＋(x－100)÷10 元
這筆錢也就是假設的 y 元，故有 100＋(x－100)÷10＝y …(*1)

老二的第一筆錢：200元
老二的第二筆錢：紅包分給老大，再扣去200元後，剩下的1/10，也就是 (x－y－200)÷10 元
老二共拿到：200＋(x－y－200)÷10 元
這筆錢也就是假設的 y 元，故有 200＋(x－y－200)÷10＝y …(*2)

由(*1)和(*2)都同乘以10得：

1000＋(x－100)＝10y
2000＋(x－y－200)＝10y

x＝10y－900
x＝11y－1800

→ 10y－900＝11y－1800
→ y＝900 代回得 x＝8100
8100÷900＝9
王老先生有9個小孩，每人分得900元

四位數與位數之和

題目

某四位數與其四個位數之和為2001，求該四位數字。
(例：2357與位數和為2357＋2＋3＋5＋7＝2374)

原數與位數和為2001，原數必小於2001
若 2000 則 2000＋2＋0＋0＋0＝2002 不合
→ 千位數為 1

個位、十位、百位皆最大時，位數和為1＋9＋9＋9＝28
原數最小可能為 2001－28＝1973
→ 百位數為 9，十位至少要 7

假設原數為[19AB]，則值為1900＋10A＋B
則 1900＋10A＋B＋1＋9＋A＋B＝2001
→ 11A＋2B＝91
2b必為偶數，故A必為奇數，A可能為7或9
若 A＝9，則 B＝－4不合
故 A＝7，B＝7，原四位數為 1977

圓內接梯形的托勒密定理

題目

圓上有A、B、C、D四點，且AD//BC，BD上有一點E，∠ABD＝∠BCE
求證：BD²＝CD²＋BC×AD

在△ABD和△ECB中

∠ABD＝∠ECB (已知)
∠ADB＝∠EBC (AD//BC，內錯角相等)
→ △ABD～△ECB (AA)
AD：EB ＝ BD：CB
AD × CB ＝ EB × BD …(*1)

在△DEC和△DCB中

∠EDC＝∠CDB (共用)
∠DEC＝∠EBC＋∠ECB＝∠ADB＋∠ABD＝(AB弧＋AD弧)÷2＝BAD弧÷2＝∠DCB
→ △DEC～△DCB (AA)
DC：DB ＝ DE：DC
DC² ＝ DB × DE …(*2)

由(*1)和(*2)得
DC²＋ AD × CB
＝ DB × DE ＋ EB × BD
＝ BD × (DE ＋ EB)
＝ BD × DB
＝ BD²

Wikipedia：托勒密定理 上有更general的敘述和証明

數字謎，最大值

題目

A、B、C、D、E、F、G、H、X、Y是不同的0～9數字，且A、B、D、G皆不為0，求滿足此加法直式的數字中，XY積的最大值。

考慮 D、G、H 三個數字：

由一位數的 D 變成二位數的 GH，故十位必進位給百位，使得 D 加上進位的數才有變化。十位是兩個數字的和，那麼是進多少給百位？
由個位的 A＋C＋F＜10＋10＋10＜30，故個位的和最多只進2給十位
十位要能夠進2給百位，只能是9＋9＋2＝20 ，但 B、E 不可相同，故十位進 1 給百位，D 加上進位的1要能夠進位，只有9＋1＝10。故 D＝9，G＝1，H＝0

考慮 A、C、F、Y 四個數字的進位。A＋C＋F 是進多少給十位？是 1 還是 2，還是沒有進位：

既然 G 和 H 用去了數字 1 和 0，且 A、C、F 不能相同，則 A＋C＋F 最少是 2＋3＋4＝9，但 D 用去了數字 9，故 A＋C＋F 必進位給十位。
D 用去了 9，且 A、C、F 不能相同，則 A＋C＋F 最多是 6＋7＋8＝21，但 G 用去了1。 A＋C＋F 也不能是20，因為 H 用去了0，故個位恰進 1 給十位。

考慮個位的和與進位給十位的1，我們有： A＋C＋F＝10＋Y
考慮十位的和、由個位進的1，與進位給百位的1，我們有： 1＋B＋E＝10＋X
兩式相加得： A＋C＋F＋1＋B＋E＝10＋Y＋10＋X
A＋B＋C＋E＋F＝X＋Y＋19
等式兩邊同加 (X＋Y) 得A＋B＋C＋E＋F＋X＋Y＝X＋Y＋19＋X＋Y＝2(X＋Y)＋19
A、B、C、E、F、X、Y是2、3、4、5、6、7、8 排列，等號左邊必為2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝35
X＋Y＝(35－19)÷2＝8
可能是(3，5)或(2，6)
X×Y最大值為3×5＝15，下面是可能的一組情況：

正方形內一點對頂點旋轉

題目

正方形ABCD內一點P，P以B點為中心順時針旋轉90°得Q點，P以D點為中心逆時針旋轉90°得R點
求証：C是線段QR的中點

連接AP。

在△PAB與△QCB中
ABCD是正方形 → AB＝CB 且 ∠CBA＝90°
P順時針旋轉90°成為Q → PB＝QB 且 ∠QBP＝90°
∠CBA＝∠QBP＝90° → ∠PBA＝∠CBA－∠CBP＝90°－∠CBP＝∠QBP－∠CBP＝∠QBC
→ △PAB 全等於 △QCB (SAS)

同理，在△PDA與△RDC中
DA＝DC，∠ADP＝∠CDR，PD＝RD
→ △PDA 全等於 △RDC (SAS)

→ QC＝PA，RC＝PA (對應邊相等) → QC＝RC …(*1)
∠QCB＝∠PAB，∠DCR＝∠DAP (對應角相等)
→ ∠QCR＝∠QCB＋∠BCD＋∠DCR＝∠PAB＋∠BCD＋∠DAP＝∠BAD＋∠BCD＝180°
→ Q、C、R 三點共線 …(*2)

由(*1)和(*2)得，C是QR中點。

2的次方根式化簡

題目

求值：

考慮 (2＋1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2²－1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2⁴－1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2⁸－1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
………
＝(2⁶⁴－1)×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2¹²⁸－1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝2²⁵⁶－1＋1
＝2²⁵⁶
＝(2¹²⁸)²

故原式＝2¹²⁸

長方體邊上中點距離

題目

長方體中，AB＝6，BC＝8，BD＝12，F是AB中點，G是DE中點，求FG長。

作BC中點H，連接HG和HF

在△BFH中，∠FBH＝90°，由畢氏定理 FH²＝BF²＋BH²
F是AB中點，BF＝3。H是BC中點，BH＝4。 → FH＝5

在△HFG中，H和G分別是BC和DE中點，BH＝DG 且 BH//DG
→ BHGD是平行四邊形 → HG//BD ，又BD⊥ABC平面
→ HG⊥ABC平面 → ∠FHG＝90°，由畢氏定理 FG²＝HF²＋HG²
HF＝5，HG＝12 → FG＝13

　　

角平分線上的垂足

題目

△ABC中，AD是∠CAB的角平分線，且AB＝AD，作C在AD直線上的垂足E，連接CE和DE

求證：AE＝(AB＋AC)÷2

過C作平行AD的直線交AB延長線於F，連接CF和AF，作AG⊥CF於G
則四邊形AECG是長方形，AE＝GC …(*1)

AB＝AD (已知) → ∠B＝∠ADB
AD//FC → ∠ADB＝∠FCB (同位角相等)
→∠B＝∠FCB → FB＝FC …(*2)

△ACF中，
AD//FC → ∠F＝∠BAD (同位角相等)、∠FCA＝∠CAD (內錯角相等)
AD平分∠CAB → ∠BAD＝∠CAD
→ ∠F＝∠FCA → △ACF是等腰三角形
AF＝AC 且 FG＝CG → AB＋AC＝AB＋AF＝FB …(*3)

由 (*1) (*2) (*3) 得 AE ＝ GC ＝ FC÷2 ＝ FB÷2 ＝(AB+AC)÷2 　　

8AB8

題目

用 8、A、B、8 四張卡片排成一個四位數，若四位數8AB8被二位數AB整除，求AB的可能性。（例如8268被26整除）

　四位數8AB8
＝8000＋100×A＋10×B＋8
＝8008＋10×(10A+B)
若10A+B整除8008，則10A+B整除8008＋10×(10A+B)
8008＝2³×7×11×13
8008的因數：2、4、7、8、11、13、14、22、26、28、44、52、56、77、88、91、104 …
二位數的可能是11、13、14、22、26、28、44、52、56、77、88、91

這題是茶水間的數學思考的一題，很簡單，只是我對書中的解答有點意見 XD

不用相似形解這題面積題

題目

兩個正方形如圖，ABCD 邊長6，ECGF 邊長4，連接線段 BD、BF、DG，DG 交 BF 於 H，
求△BDH 面積

設線段 DG 交 EF 於 N，先求出線段 NF 的長

設NF＝a，考慮上圖中著色的面樍：△GNF＋梯形NFMD＝△GDM
4×a÷2 ＋ (a＋4)×2÷2 ＝ 6×4÷2
a＝8/3

做點 H 在線段 CG 上的垂足 J (圖忘了標示)
設線段 HJ 為 y
由 面積△BDH＝△BDG－△BHG得
△BDH面積＝(6＋4)×6÷2 － (6＋4)×y÷2 ＝30－5y ...(*1)

做點 H 在線段 NF 上的垂足 K
則 HK＝4－y
由 面積△BDH＝梯形DBGM－△BGF－梯形DNFM－△NHF 得
△BDH面積＝(4＋6＋4)×6÷2 － (6＋4)×4÷2 － (4＋8/3)×2÷2 － (4－y)×8/3 ÷2
＝10＋4y/3 ...(*2)

由(*1)和(*2)得
30－5y＝10＋4y/3
y＝60/19

△BDH面積 ＝ 30－5×60/19 ＝ 270/19