圓內接梯形的托勒密定理

題目

圓上有A、B、C、D四點，且AD//BC，BD上有一點E，∠ABD＝∠BCE
求證：BD²＝CD²＋BC×AD

在△ABD和△ECB中

∠ABD＝∠ECB (已知)
∠ADB＝∠EBC (AD//BC，內錯角相等)
→ △ABD～△ECB (AA)
AD：EB ＝ BD：CB
AD × CB ＝ EB × BD …(*1)

在△DEC和△DCB中

∠EDC＝∠CDB (共用)
∠DEC＝∠EBC＋∠ECB＝∠ADB＋∠ABD＝(AB弧＋AD弧)÷2＝BAD弧÷2＝∠DCB
→ △DEC～△DCB (AA)
DC：DB ＝ DE：DC
DC² ＝ DB × DE …(*2)

由(*1)和(*2)得
DC²＋ AD × CB
＝ DB × DE ＋ EB × BD
＝ BD × (DE ＋ EB)
＝ BD × DB
＝ BD²

Wikipedia：托勒密定理 上有更general的敘述和証明