正方形內一點對頂點旋轉

題目

正方形ABCD內一點P，P以B點為中心順時針旋轉90°得Q點，P以D點為中心逆時針旋轉90°得R點
求証：C是線段QR的中點

連接AP。

在△PAB與△QCB中
ABCD是正方形 → AB＝CB 且 ∠CBA＝90°
P順時針旋轉90°成為Q → PB＝QB 且 ∠QBP＝90°
∠CBA＝∠QBP＝90° → ∠PBA＝∠CBA－∠CBP＝90°－∠CBP＝∠QBP－∠CBP＝∠QBC
→ △PAB 全等於 △QCB (SAS)

同理，在△PDA與△RDC中
DA＝DC，∠ADP＝∠CDR，PD＝RD
→ △PDA 全等於 △RDC (SAS)

→ QC＝PA，RC＝PA (對應邊相等) → QC＝RC …(*1)
∠QCB＝∠PAB，∠DCR＝∠DAP (對應角相等)
→ ∠QCR＝∠QCB＋∠BCD＋∠DCR＝∠PAB＋∠BCD＋∠DAP＝∠BAD＋∠BCD＝180°
→ Q、C、R 三點共線 …(*2)

由(*1)和(*2)得，C是QR中點。