等腰直角三角形兩腰三等分

題目

等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，分別在兩股AB與AC上取三等分點
D 在 AB 上，AD：DB＝2：1
E 在 AC 上，AE：EC＝1：2
連接 DE 和 BE，求證：∠ADE＝∠EBC

作E在BC上的垂足F，連接EF。

設AE＝x，則AD＝2x，在△ADE中，∠A＝90°，
DE²＝AD²＋AE²＝4x²＋x²＝5x²
→ DE＝√5 x
→ AE：AD：DE＝1：2：√5　　…(*1)

在△FCE中，∠C＝45°，∠EFC＝90° → △FCE是等腰直角三角形
→ EF：EC＝1：√2
EF＝2x÷√2＝√2 x

在△ABE中，BE²＝AB²＋AE²＝9x²＋x²＝10x²
→ BE＝√10 x

在△FBE中，BF²＝BE²－EF²＝10x²－2x²＝8x²
→ BF＝2√2 x

→ FE：FB：BE＝√2 x：2√2 x：√10 x＝1：2：√5　　…(*2)

在△ADE和△FBE中，由(*1)和(*2)得
△ADE～△FBE (SSS)
→ ∠ADE＝∠EBC