角平分線上的垂足

題目

△ABC中，AD是∠CAB的角平分線，且AB＝AD，作C在AD直線上的垂足E，連接CE和DE

求證：AE＝(AB＋AC)÷2

過C作平行AD的直線交AB延長線於F，連接CF和AF，作AG⊥CF於G
則四邊形AECG是長方形，AE＝GC …(*1)

AB＝AD (已知) → ∠B＝∠ADB
AD//FC → ∠ADB＝∠FCB (同位角相等)
→∠B＝∠FCB → FB＝FC …(*2)

△ACF中，
AD//FC → ∠F＝∠BAD (同位角相等)、∠FCA＝∠CAD (內錯角相等)
AD平分∠CAB → ∠BAD＝∠CAD
→ ∠F＝∠FCA → △ACF是等腰三角形
AF＝AC 且 FG＝CG → AB＋AC＝AB＋AF＝FB …(*3)

由 (*1) (*2) (*3) 得 AE ＝ GC ＝ FC÷2 ＝ FB÷2 ＝(AB+AC)÷2