數字謎，最大值

題目

A、B、C、D、E、F、G、H、X、Y是不同的0～9數字，且A、B、D、G皆不為0，求滿足此加法直式的數字中，XY積的最大值。

考慮 D、G、H 三個數字：

由一位數的 D 變成二位數的 GH，故十位必進位給百位，使得 D 加上進位的數才有變化。十位是兩個數字的和，那麼是進多少給百位？
由個位的 A＋C＋F＜10＋10＋10＜30，故個位的和最多只進2給十位
十位要能夠進2給百位，只能是9＋9＋2＝20 ，但 B、E 不可相同，故十位進 1 給百位，D 加上進位的1要能夠進位，只有9＋1＝10。故 D＝9，G＝1，H＝0

考慮 A、C、F、Y 四個數字的進位。A＋C＋F 是進多少給十位？是 1 還是 2，還是沒有進位：

既然 G 和 H 用去了數字 1 和 0，且 A、C、F 不能相同，則 A＋C＋F 最少是 2＋3＋4＝9，但 D 用去了數字 9，故 A＋C＋F 必進位給十位。
D 用去了 9，且 A、C、F 不能相同，則 A＋C＋F 最多是 6＋7＋8＝21，但 G 用去了1。 A＋C＋F 也不能是20，因為 H 用去了0，故個位恰進 1 給十位。

考慮個位的和與進位給十位的1，我們有： A＋C＋F＝10＋Y
考慮十位的和、由個位進的1，與進位給百位的1，我們有： 1＋B＋E＝10＋X
兩式相加得： A＋C＋F＋1＋B＋E＝10＋Y＋10＋X
A＋B＋C＋E＋F＝X＋Y＋19
等式兩邊同加 (X＋Y) 得A＋B＋C＋E＋F＋X＋Y＝X＋Y＋19＋X＋Y＝2(X＋Y)＋19
A、B、C、E、F、X、Y是2、3、4、5、6、7、8 排列，等號左邊必為2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝35
X＋Y＝(35－19)÷2＝8
可能是(3，5)或(2，6)
X×Y最大值為3×5＝15，下面是可能的一組情況：

正方形內一點對頂點旋轉

題目

正方形ABCD內一點P，P以B點為中心順時針旋轉90°得Q點，P以D點為中心逆時針旋轉90°得R點
求証：C是線段QR的中點

連接AP。

在△PAB與△QCB中
ABCD是正方形 → AB＝CB 且 ∠CBA＝90°
P順時針旋轉90°成為Q → PB＝QB 且 ∠QBP＝90°
∠CBA＝∠QBP＝90° → ∠PBA＝∠CBA－∠CBP＝90°－∠CBP＝∠QBP－∠CBP＝∠QBC
→ △PAB 全等於 △QCB (SAS)

同理，在△PDA與△RDC中
DA＝DC，∠ADP＝∠CDR，PD＝RD
→ △PDA 全等於 △RDC (SAS)

→ QC＝PA，RC＝PA (對應邊相等) → QC＝RC …(*1)
∠QCB＝∠PAB，∠DCR＝∠DAP (對應角相等)
→ ∠QCR＝∠QCB＋∠BCD＋∠DCR＝∠PAB＋∠BCD＋∠DAP＝∠BAD＋∠BCD＝180°
→ Q、C、R 三點共線 …(*2)

由(*1)和(*2)得，C是QR中點。

2的次方根式化簡

題目

求值：

考慮 (2＋1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2²－1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2⁴－1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2⁸－1)×(2⁸＋1)× … ×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
………
＝(2⁶⁴－1)×(2⁶⁴＋1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝(2¹²⁸－1)×(2¹²⁸＋1) ＋1
＝2²⁵⁶－1＋1
＝2²⁵⁶
＝(2¹²⁸)²

故原式＝2¹²⁸

長方體邊上中點距離

題目

長方體中，AB＝6，BC＝8，BD＝12，F是AB中點，G是DE中點，求FG長。

作BC中點H，連接HG和HF

在△BFH中，∠FBH＝90°，由畢氏定理 FH²＝BF²＋BH²
F是AB中點，BF＝3。H是BC中點，BH＝4。 → FH＝5

在△HFG中，H和G分別是BC和DE中點，BH＝DG 且 BH//DG
→ BHGD是平行四邊形 → HG//BD ，又BD⊥ABC平面
→ HG⊥ABC平面 → ∠FHG＝90°，由畢氏定理 FG²＝HF²＋HG²
HF＝5，HG＝12 → FG＝13

　　

角平分線上的垂足

題目

△ABC中，AD是∠CAB的角平分線，且AB＝AD，作C在AD直線上的垂足E，連接CE和DE

求證：AE＝(AB＋AC)÷2

過C作平行AD的直線交AB延長線於F，連接CF和AF，作AG⊥CF於G
則四邊形AECG是長方形，AE＝GC …(*1)

AB＝AD (已知) → ∠B＝∠ADB
AD//FC → ∠ADB＝∠FCB (同位角相等)
→∠B＝∠FCB → FB＝FC …(*2)

△ACF中，
AD//FC → ∠F＝∠BAD (同位角相等)、∠FCA＝∠CAD (內錯角相等)
AD平分∠CAB → ∠BAD＝∠CAD
→ ∠F＝∠FCA → △ACF是等腰三角形
AF＝AC 且 FG＝CG → AB＋AC＝AB＋AF＝FB …(*3)

由 (*1) (*2) (*3) 得 AE ＝ GC ＝ FC÷2 ＝ FB÷2 ＝(AB+AC)÷2 　　

8AB8

題目

用 8、A、B、8 四張卡片排成一個四位數，若四位數8AB8被二位數AB整除，求AB的可能性。（例如8268被26整除）

　四位數8AB8
＝8000＋100×A＋10×B＋8
＝8008＋10×(10A+B)
若10A+B整除8008，則10A+B整除8008＋10×(10A+B)
8008＝2³×7×11×13
8008的因數：2、4、7、8、11、13、14、22、26、28、44、52、56、77、88、91、104 …
二位數的可能是11、13、14、22、26、28、44、52、56、77、88、91

這題是茶水間的數學思考的一題，很簡單，只是我對書中的解答有點意見 XD

不用相似形解這題面積題

題目

兩個正方形如圖，ABCD 邊長6，ECGF 邊長4，連接線段 BD、BF、DG，DG 交 BF 於 H，
求△BDH 面積

設線段 DG 交 EF 於 N，先求出線段 NF 的長

設NF＝a，考慮上圖中著色的面樍：△GNF＋梯形NFMD＝△GDM
4×a÷2 ＋ (a＋4)×2÷2 ＝ 6×4÷2
a＝8/3

做點 H 在線段 CG 上的垂足 J (圖忘了標示)
設線段 HJ 為 y
由 面積△BDH＝△BDG－△BHG得
△BDH面積＝(6＋4)×6÷2 － (6＋4)×y÷2 ＝30－5y ...(*1)

做點 H 在線段 NF 上的垂足 K
則 HK＝4－y
由 面積△BDH＝梯形DBGM－△BGF－梯形DNFM－△NHF 得
△BDH面積＝(4＋6＋4)×6÷2 － (6＋4)×4÷2 － (4＋8/3)×2÷2 － (4－y)×8/3 ÷2
＝10＋4y/3 ...(*2)

由(*1)和(*2)得
30－5y＝10＋4y/3
y＝60/19

△BDH面積 ＝ 30－5×60/19 ＝ 270/19

兩三角板重疊

題目

兩個三角板斜邊重疊：
△ABC是30-60-90三角形：∠ACB＝30°、∠CAB＝60°、∠ABC＝90°
△ACD是45-45-90三角形：∠DAC＝∠DCA＝45°、∠ADC＝90°
線段AB＝10，求線段BD長

[法1]

做線段AC的中點M，則M是△ABC的外心，也是△ACD的外心
又∠ABC+∠ADC＝180°，則ABCD四點共圓，以M為圓心，線段MA畫圓
∠ADB＝AB弧÷2＝∠ACB＝30°

過B作B在直線DM上的垂足E，連接MD、MB、ME、BE
→MD＝MB＝MA＝AB＝10
∠MBD＝∠MDB＝∠ADM－∠ADB＝45°－30°＝15°
∠BME＝∠MBD＋∠MDB＝30°
又∠E＝90°，△BEM是30-60-90三角形、且線段BM＝10
→線段BE＝5、線段ME＝5√3

BD²＝BE²＋DE²
　＝5²＋(10＋5√3)²
　＝25＋100＋75＋100√3
　＝200＋100√3
　＝50＋150＋2×√50×√150
→ BD＝√50＋√150＝5(√2＋√6)

[法2]

作D在直線BC上的垂足E、作D在直線AB上的垂足F，連接線段DE、線段DF、線段FA

在 △DEC 和 △DFA 中
線段DC＝線段DA （△DCA 是等腰三角形）
∠DEC＝∠DFA＝90° （F和E是D在AB和BC上的垂足）
∠DCE＝∠DCA＋∠ACB＝45°＋30°＝75°
∠DAF＝180°－∠DAC－∠CAB＝180°－45°－60°＝75°
→∠DCE＝∠DAF
→△DEC 全等於 △DFA (AAS)
則線段DE＝線段DF，四邊形 FBED 是正方形
且正方形FBED面積＝△ABC面積＋△DAC面積
＝10×10√3÷2 ＋ 10√2×10√2÷2
＝100＋50√3

線段BD是正方形的對角線，則線段BD²÷2＝100＋50√3
→BD²＝200＋100√3＝50＋150＋2×√50√150
→BD＝√50＋√150＝5(√2＋√6)

[法3]（感謝AngelLeliel提供）

直線BC上取一點E使得線段CE＝線段AB，連接線段DE和線段CE

在 △DAB 和 △DCE 中
線段DA＝線段DC （△DCA 是等腰三角形）
∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝45°＋60°＝105°
∠DCE＝180°－∠DCA－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°
→∠DAB＝∠DCE
線段CE＝線段AB
→△DAB 全等於 △DCE (SAS)
則∠ADB＝∠CDE 、 線段DB＝線段DE
→∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝∠BDC＋∠ADB＝90°
→△BDE是等腰直角三角形

線段BE＝線段BE÷√2＝(10＋10√3)÷√2＝5(√2＋√6)

買了這個

跑走了好幾個小朋友
還在研究中.... 好複雜啊
目前就只會用Ryhtm和亂調奇怪的音
希望趕快弄懂

BTW 最近 WLM 有不能上的危險
附plurk id：cyberlancer

充實

暑假過了一半，馬不停蹄地雖累也充實
吉他進入強力和弦但也很快地帶過
好像吉他也要趕課似的
沒有喘息，不知道是老師覺得我都吸收得了
還是本來就這樣一直衝呢？

太鼓一直敲，熱鬧地像慶典
雖然弱但也可以打個幾首鬼級六星
快曲還能讓自己熱血一下
曲子能有新發現，朋友也是

噗浪業障一直升，該檢討っ^ω^C
有個80就可以鎖了，我不是那麼やりこみ不想拼100
也該感謝這服務，串起了一些朋友，熱絡了感情
能有這樣的結果也很意外
(倒是最近另一個熱起來的臉書我的興致就沒這麼大了)
btw 倉頡能練起來，噗浪幫助很大

學生上課加課，我也要進修
拿出 Set Theory 懷念那個時光
絞盡腦汁想講義和題目
和他/她們雖然唬爛喇賽
看著他們一點一滴成長倒也蠻有成就感的
我發現還挺喜歡這工作的