星期二, 11月 17, 2009

兩三角板重疊

題目 兩個三角板斜邊重疊:
△ABC是30-60-90三角形:∠ACB=30°、∠CAB=60°、∠ABC=90°
△ACD是45-45-90三角形:∠DAC=∠DCA=45°、∠ADC=90°
線段AB=10,求線段BD長











[法1]

做線段AC的中點M,則M是△ABC的外心,也是△ACD的外心
又∠ABC+∠ADC=180°,則ABCD四點共圓,以M為圓心,線段MA畫圓
∠ADB=AB弧÷2=∠ACB=30°

過B作B在直線DM上的垂足E,連接MD、MB、ME、BE
→MD=MB=MA=AB=10
∠MBD=∠MDB=∠ADM-∠ADB=45°-30°=15°
∠BME=∠MBD+∠MDB=30°
又∠E=90°,△BEM是30-60-90三角形、且線段BM=10
→線段BE=5、線段ME=5√3

BD2=BE2+DE2
 =52+(10+5√3)2
 =25+100+75+100√3
 =200+100√3
 =50+150+2×√50×√150
→ BD=√50+√150=5(√2+√6)

[法2]

作D在直線BC上的垂足E、作D在直線AB上的垂足F,連接線段DE、線段DF、線段FA

在 △DEC 和 △DFA 中
線段DC=線段DA (△DCA 是等腰三角形)
∠DEC=∠DFA=90° (F和E是D在AB和BC上的垂足)
∠DCE=∠DCA+∠ACB=45°+30°=75°
∠DAF=180°-∠DAC-∠CAB=180°-45°-60°=75°
→∠DCE=∠DAF
→△DEC 全等於 △DFA (AAS)
則線段DE=線段DF,四邊形 FBED 是正方形
且正方形FBED面積=△ABC面積+△DAC面積
=10×10√3÷2 + 10√2×10√2÷2
=100+50√3

線段BD是正方形的對角線,則線段BD2÷2=100+50√3
→BD2=200+100√3=50+150+2×√50√150
→BD=√50+√150=5(√2+√6)

[法3](感謝AngelLeliel提供)

直線BC上取一點E使得線段CE=線段AB,連接線段DE和線段CE

在 △DAB 和 △DCE 中
線段DA=線段DC (△DCA 是等腰三角形)
∠DAB=∠DAC+∠CAB=45°+60°=105°
∠DCE=180°-∠DCA-∠ACB=180°-45°-30°=105°
→∠DAB=∠DCE
線段CE=線段AB
→△DAB 全等於 △DCE (SAS)
則∠ADB=∠CDE 、 線段DB=線段DE
→∠BDE=∠BDC+∠CDE=∠BDC+∠ADB=90°
→△BDE是等腰直角三角形

線段BE=線段BE÷√2=(10+10√3)÷√2=5(√2+√6)


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