兩三角板重疊

題目

兩個三角板斜邊重疊：
△ABC是30-60-90三角形：∠ACB＝30°、∠CAB＝60°、∠ABC＝90°
△ACD是45-45-90三角形：∠DAC＝∠DCA＝45°、∠ADC＝90°
線段AB＝10，求線段BD長

[法1]

做線段AC的中點M，則M是△ABC的外心，也是△ACD的外心
又∠ABC+∠ADC＝180°，則ABCD四點共圓，以M為圓心，線段MA畫圓
∠ADB＝AB弧÷2＝∠ACB＝30°

過B作B在直線DM上的垂足E，連接MD、MB、ME、BE
→MD＝MB＝MA＝AB＝10
∠MBD＝∠MDB＝∠ADM－∠ADB＝45°－30°＝15°
∠BME＝∠MBD＋∠MDB＝30°
又∠E＝90°，△BEM是30-60-90三角形、且線段BM＝10
→線段BE＝5、線段ME＝5√3

BD²＝BE²＋DE²
　＝5²＋(10＋5√3)²
　＝25＋100＋75＋100√3
　＝200＋100√3
　＝50＋150＋2×√50×√150
→ BD＝√50＋√150＝5(√2＋√6)

[法2]

作D在直線BC上的垂足E、作D在直線AB上的垂足F，連接線段DE、線段DF、線段FA

在 △DEC 和 △DFA 中
線段DC＝線段DA （△DCA 是等腰三角形）
∠DEC＝∠DFA＝90° （F和E是D在AB和BC上的垂足）
∠DCE＝∠DCA＋∠ACB＝45°＋30°＝75°
∠DAF＝180°－∠DAC－∠CAB＝180°－45°－60°＝75°
→∠DCE＝∠DAF
→△DEC 全等於 △DFA (AAS)
則線段DE＝線段DF，四邊形 FBED 是正方形
且正方形FBED面積＝△ABC面積＋△DAC面積
＝10×10√3÷2 ＋ 10√2×10√2÷2
＝100＋50√3

線段BD是正方形的對角線，則線段BD²÷2＝100＋50√3
→BD²＝200＋100√3＝50＋150＋2×√50√150
→BD＝√50＋√150＝5(√2＋√6)

[法3]（感謝AngelLeliel提供）

直線BC上取一點E使得線段CE＝線段AB，連接線段DE和線段CE

在 △DAB 和 △DCE 中
線段DA＝線段DC （△DCA 是等腰三角形）
∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝45°＋60°＝105°
∠DCE＝180°－∠DCA－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°
→∠DAB＝∠DCE
線段CE＝線段AB
→△DAB 全等於 △DCE (SAS)
則∠ADB＝∠CDE 、 線段DB＝線段DE
→∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝∠BDC＋∠ADB＝90°
→△BDE是等腰直角三角形

線段BE＝線段BE÷√2＝(10＋10√3)÷√2＝5(√2＋√6)