在△ABD和△ECB中
∠ABD＝∠ECB (已知)
∠ADB＝∠EBC (AD//BC，內錯角相等)
→ △ABD～△ECB (AA)
AD：EB ＝ BD：CB
AD × CB ＝ EB × BD …(*1)
在△DEC和△DCB中
∠EDC＝∠CDB (共用)
∠DEC＝∠EBC＋∠ECB＝∠ADB＋∠ABD＝(AB弧＋AD弧)÷2＝BAD弧÷2＝∠DCB
→ △DEC～△DCB (AA)
DC：DB ＝ DE：DC
DC2 ＝ DB × DE …(*2)
由(*1)和(*2)得
DC2＋ AD × CB
＝ DB × DE ＋ EB × BD
＝ BD × (DE ＋ EB)
＝ BD × DB
＝ BD2
Wikipedia：托勒密定理 上有更general的敘述和証明
考慮 D、G、H 三個數字：
由一位數的 D 變成二位數的 GH，故十位必進位給百位，使得 D 加上進位的數才有變化。十位是兩個數字的和，那麼是進多少給百位？
由個位的 A＋C＋F＜10＋10＋10＜30，故個位的和最多只進2給十位
十位要能夠進2給百位，只能是9＋9＋2＝20 ，但 B、E 不可相同，故十位進 1 給百位，D 加上進位的1要能夠進位，只有9＋1＝10。故 D＝9，G＝1，H＝0
考慮 A、C、F、Y 四個數字的進位。A＋C＋F 是進多少給十位？是 1 還是 2，還是沒有進位：
既然 G 和 H 用去了數字 1 和 0，且 A、C、F 不能相同，則 A＋C＋F 最少是 2＋3＋4＝9，但 D 用去了數字 9，故 A＋C＋F 必進位給十位。
D 用去了 9，且 A、C、F 不能相同，則 A＋C＋F 最多是 6＋7＋8＝21，但 G 用去了1。 A＋C＋F 也不能是20，因為 H 用去了0，故個位恰進 1 給十位。
考慮個位的和與進位給十位的1，我們有： A＋C＋F＝10＋Y
考慮十位的和、由個位進的1，與進位給百位的1，我們有： 1＋B＋E＝10＋X
兩式相加得： A＋C＋F＋1＋B＋E＝10＋Y＋10＋X
A＋B＋C＋E＋F＝X＋Y＋19
等式兩邊同加 (X＋Y) 得A＋B＋C＋E＋F＋X＋Y＝X＋Y＋19＋X＋Y＝2(X＋Y)＋19
A、B、C、E、F、X、Y是2、3、4、5、6、7、8 排列，等號左邊必為2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝35
X＋Y＝(35－19)÷2＝8
可能是(3，5)或(2，6)
X×Y最大值為3×5＝15，下面是可能的一組情況：
連接AP。
在△PAB與△QCB中
ABCD是正方形 → AB＝CB 且 ∠CBA＝90°
P順時針旋轉90°成為Q → PB＝QB 且 ∠QBP＝90°
∠CBA＝∠QBP＝90° → ∠PBA＝∠CBA－∠CBP＝90°－∠CBP＝∠QBP－∠CBP＝∠QBC
→ △PAB 全等於 △QCB (SAS)
同理，在△PDA與△RDC中
DA＝DC，∠ADP＝∠CDR，PD＝RD
→ △PDA 全等於 △RDC (SAS)
→ QC＝PA，RC＝PA (對應邊相等) → QC＝RC …(*1)
∠QCB＝∠PAB，∠DCR＝∠DAP (對應角相等)
→ ∠QCR＝∠QCB＋∠BCD＋∠DCR＝∠PAB＋∠BCD＋∠DAP＝∠BAD＋∠BCD＝180°
→ Q、C、R 三點共線 …(*2)
由(*1)和(*2)得，C是QR中點。
過C作平行AD的直線交AB延長線於F，連接CF和AF，作AG⊥CF於G
則四邊形AECG是長方形，AE＝GC …(*1)
AB＝AD (已知) → ∠B＝∠ADB
AD//FC → ∠ADB＝∠FCB (同位角相等)
→∠B＝∠FCB → FB＝FC …(*2)
△ACF中，
AD//FC → ∠F＝∠BAD (同位角相等)、∠FCA＝∠CAD (內錯角相等)
AD平分∠CAB → ∠BAD＝∠CAD
→ ∠F＝∠FCA → △ACF是等腰三角形
AF＝AC 且 FG＝CG → AB＋AC＝AB＋AF＝FB …(*3)
由 (*1) (*2) (*3) 得 AE ＝ GC ＝ FC÷2 ＝ FB÷2 ＝(AB+AC)÷2
