剪紙

題目

棄璞將一張紙片剪成8小張：

再取其中幾張將每張都剪成8小張，例如取3張各剪成8張，總共有29張：

再取其中幾張，大小不拘，例如取5張各剪成8張，總共有64張：

問：他能否剪出100張的紙片？能否剪出1000000張紙片？

若取出1張，剪成8張，則增加－1＋8＝7張
若取出2張，剪成16張，則增加－2＋16＝14張
若取出3張，剪成24張，則增加－3＋24＝21張
若取出4張，剪成32張，則增加－4＋32＝28張
若取出5張，剪成40張，則增加－5＋40＝35張
……
若取出k張，剪成8k張，則增加－k＋8k＝7k張

也就是每次取出若干張紙片並各剪成8張，紙片的總數會增加7的倍數張，每次的紙片總數目為7的倍數加1張。
因100＝1＋99，而99÷7＝14…1，無法剪出100張的紙片。
因1000000＝1＋999999，而999999÷7＝142857，故可剪出1000000張的紙片。

等腰直角三角形兩腰三等分

題目

等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，分別在兩股AB與AC上取三等分點
D 在 AB 上，AD：DB＝2：1
E 在 AC 上，AE：EC＝1：2
連接 DE 和 BE，求證：∠ADE＝∠EBC

作E在BC上的垂足F，連接EF。

設AE＝x，則AD＝2x，在△ADE中，∠A＝90°，
DE²＝AD²＋AE²＝4x²＋x²＝5x²
→ DE＝√5 x
→ AE：AD：DE＝1：2：√5　　…(*1)

在△FCE中，∠C＝45°，∠EFC＝90° → △FCE是等腰直角三角形
→ EF：EC＝1：√2
EF＝2x÷√2＝√2 x

在△ABE中，BE²＝AB²＋AE²＝9x²＋x²＝10x²
→ BE＝√10 x

在△FBE中，BF²＝BE²－EF²＝10x²－2x²＝8x²
→ BF＝2√2 x

→ FE：FB：BE＝√2 x：2√2 x：√10 x＝1：2：√5　　…(*2)

在△ADE和△FBE中，由(*1)和(*2)得
△ADE～△FBE (SSS)
→ ∠ADE＝∠EBC

兄弟分紅包

題目

王老先生有若干個孩子，在一次過年時準備了一個大紅包要分給孩子們，他的分法如下：
(1) 從大紅包中拿出100元給老大，再把紅包中剩下的1/10給老大
(2) 從大紅包中拿出200元給老二，再把紅包中剩下的1/10給老二
(3) 從大紅包中拿出300元給老三，再把紅包中剩下的1/10給老三
(4) …… 如此依序發到最後一個小孩
若每個小孩拿到的壓歲錢都一樣多，且最後紅包沒有剩，問王老先生有多少個小孩，每人拿到多少的壓歲錢？

假設全部的錢為 x 元，每人拿到 y 元。
老大和老二都拿到兩筆錢，分別是：

老大的第一筆錢：100元
老大的第二筆錢：紅包扣去100元後，剩下的1/10，也就是(x－100)÷10 元
老大共拿到：100＋(x－100)÷10 元
這筆錢也就是假設的 y 元，故有 100＋(x－100)÷10＝y …(*1)

老二的第一筆錢：200元
老二的第二筆錢：紅包分給老大，再扣去200元後，剩下的1/10，也就是 (x－y－200)÷10 元
老二共拿到：200＋(x－y－200)÷10 元
這筆錢也就是假設的 y 元，故有 200＋(x－y－200)÷10＝y …(*2)

由(*1)和(*2)都同乘以10得：

1000＋(x－100)＝10y
2000＋(x－y－200)＝10y

x＝10y－900
x＝11y－1800

→ 10y－900＝11y－1800
→ y＝900 代回得 x＝8100
8100÷900＝9
王老先生有9個小孩，每人分得900元