歐拉線 Euler Line

題目

證明三角形的外心、重心、垂心，三點共線，且重心到垂心的距離是重心到外心距離的兩倍。

即證明：O G H 三點共線，且GH：GO＝2：1

以外心為圓心做三角形ABC的外接圓
連接BO並延長，交外接圓於D

連接DA和DC
∵BD是直徑
∴∠DAB＝∠DCB＝90°
→DA⊥AB，DC⊥BC

連接AH和CH
H是垂心
→AH⊥BC、CH⊥AB

∵AH⊥BC＆DC⊥BC
∴AH//DC
同理CH//DA
→四邊形AHCD是平行四邊形
→AH＝CD

連接OH、作BC中點M

連接AM交OH於G'
連接OM

△BCD中
∵O是BD中點，M是BC中點
∴OM//DC且OM＝1/2 DC＝1/2 AH

在△G'AH和△G'MO中
∵OM//DC//AH
∴△G'AH相似於△G'MO

→AG'：MG'＝HA：OM＝HA：1/2 HA＝2：1
所以G'是在中線AM上使得G'A：G'M＝2：1的點
→G'是重心G且重心、垂心、外心三點共線
又G'H：G'O＝G'A：G'M＝2：1
重心到垂心的距離是重心到外心的距離的兩倍

此線稱 Euler Line、尤拉線、歐拉線